Главная Дисциплины Высшая Математика

Высшая Математика

11.02.2015 12:04 Администратор
Индекс материала
Высшая Математика
Задания
Учебные материалы
Все страницы

Цель дисциплины:

Целью изучения дисциплины «Математика» является формирование у студентов практических навыков применения правил высшей математики.

Темы 
  1. Линейная алгебра
  2. Векторная алгебра
  3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
  4. Элементы высшей алгебры
  5. Введение в анализ
  6. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
  7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  8. Интегрирование функций нескольких переменных
  9. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
  10. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
  11. Операционное исчисление
  12. Ряды
  13. Кратные интегралы
  14. Криволинейные интегралы
  15. Поверхностные интегралы
  16. Теория поля
  17. Теория вероятностей
  18. Основные понятия и методы математической статистики
  19. Критерии согласия
  20. Оценка параметров функций регрессии

 

Содержание тем

1    Линейная алгебра
1.1    Матрицы. Операции над матрицами. Определители. Обратные и ортогональные матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Элементарные преобразования матриц.
1.2    Системы линейных алгебраических уравнений. Теоремы Крамера, Кронекера — Капелли. Метод Гаусса. Решение однородных и общих прямоугольных систем линейных алгебраических уравнений.
2    Векторная алгебра
2.1    Векторы. Линейные операции над векторами. Теоремы о линейной зависимости. Базисы на плоскости и в пространстве. Координаты векторов. Декартова система координат. Векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное произведения векторов. Векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.
3    Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
3.1    Метод координат. Плоскость. Преобразование координат на плоскости. Полярные координаты. Канонические уравнения кривых второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
3.2    Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых, плоскостей. Преобразование координат в пространстве. Поверхности второго порядка (эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы).
4    Элементы высшей алгебры
4.1    Комплексные числа. Многочлены. Основная теорема алгебры.
5       Введение в анализ
5.1    Множество вещественных чисел и его свойства. Точные грани числовых множеств. Окрестности точек на числовой оси. Числовые функции. Предел и непрерывность функции в точке. Предел числовой последовательности. Число е.
5.2    Бесконечно малые и бесконечно большие функции в точке. Основные теоремы о пределах. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Замечательные пределы. Три теоремы об эквивалентных функциях.
6    Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
6.1    Функции, непрерывные на промежутке и их свойства. Задачи, приводящие к производной. Таблица производных. Дифференцируемая функция и дифференциал. Производная функции. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости. Правила дифференцирования.
6.2    Производная сложной, обратной и параметрически заданной функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя.
6.3    Формулы Тейлора и Маклорена и их приложения. Разложение основных элементарных функций по формулам Тейлора и Маклорена.
6.4    Исследование функций и построение графиков. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. Исследование на монотонность, экстремум и выпуклость. Полная схема исследования функции.
6.5    Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования. Разложение многочленов с вещественными коэффициентами на вещественные множители. Рациональные дроби. Две теоремы о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
6.6    Интегрирование рациональных, иррациональных и тригонометрических функций. Определенный интеграл, его свойства. Интегрируемые функции. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов.
7    Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
7.1    Непрерывность функций нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал. Дифференцирование сложной функции. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
7.2    Формула Тейлора и формула конечных приращений. Экстремумы функций двух переменных. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. Производная по направлению, градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
8 Интегрирование функций нескольких переменных   
9 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
9.1    Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Классификация ДУ 1-го порядка и методы их решения.
10    Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
10.1    ОДУ высших порядков, уравнения  допускающие  понижение порядка. Линейные однородные ДУ, структура общего решения. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения, метод вариации; неоднородные уравнения со специальной правой частью, метод неопределенных коэффициентов.
11    Операционное исчисление
11.1    Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных  дифференциальных уравнений с начальным условием.
12    Ряды
12.1    Числовые ряды. Признаки сходимости числовых  рядов с положительными членами. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Тригонометрические ряды Фурье и их сходимость.
13    Кратные интегралы
13.1    Кратные интегралы. Основные свойства. Вычисление кратных интегралов в декартовых координатах, двойного интеграла в полярных координатах, тройного интеграла - в цилиндрических и сферических координатах.
14    Криволинейные интегралы. Свойства,  вычисление и связь криволинейных интегралов первого и второго родов
14.1    Криволинейные интегралы. Свойства, вычисление и связь криволинейных интегралов первого и второго родов
15    Поверхностные интегралы
15.1    Интегралы по поверхности. Свойства, вычисление и связь поверхностных интегралов первого и второго родов.
16    Теория поля
16.1    Теория поля. Поток, циркуляция. Формулы Остроградского - Гаусса, Грина, Стокса
17    Теория вероятностей
17.1    Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события, относительные частоты, закон устойчивости относительных частот. Классическое и геометрическое определения вероятности.
17.2    Методы исчисления вероятностей. Схема Бернулли. Дискретные случайные величины (СВ), ряд и функция распределения и их свойства. Математическое ожидание и дисперсия ДСВ.
17.3    Непрерывные случайные величины (НСВ). Функция распределения НСВ и ее свойства. МО и дисперсия НСВ. Нормальное распределение и его свойства. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.
18    Основные понятия и методы  математической статистики
18.1    Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочные средняя и дисперсия.
18.2    Статистические оценки генеральной средней и доли. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Определение необходимого объема выборки.
19    Критерии согласия
19.1    Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Критерий согласия Пирсона и его применение.
20    Оценка параметров функций регрессии
20.1    Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии и их свойства. Коэффициент корреляции, корреляционное отношение, их свойства и оценки. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.
 

 


Задания

Вопросы к зачету / экзамену

1 семестр
1.    Векторы. Коллинеарные, компланарные векторы. Условия коллинеарности и компланарности векторов.
2.    Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые и независимые системы векторов.
3.    Теоремы о линейной зависимости  векторов.
4.    Базисы и координаты векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Ортогональные и нормированные базисы. Системы координат. Операции над векторами, заданными координатами.
5.    Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора как проекции на базисные векторы.
6.    Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, угол между векторами. Условие ортогональности векторов.
7.    Скалярное произведение векторов, заданных координатами. Длина вектора.
8.    Векторное произведение векторов. Определение, свойства, геометрический смысл.
9.    Векторное произведение векторов, заданных координатами в декартовой системе координат. Условие коллинеарности векторов.
10.    Смешанное произведение трех векторов. Определение, свойства, геометрический смысл.
11.    Смешанное произведение трех векторов, заданных координатами в декартовой системе координат. Условие компланарности трех векторов.
12.    Матрицы. Операции над матрицами, их свойства.
13.    Определители. Свойства определителей и способы вычисления .
14.    Обратные  матрицы. Нахождение обратных матриц.
15.    Решение систем линейных алгебраических уравнений и матричных уравнений с помощью обратной матрицы.
16.    Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Элементарные преобразования матриц.
17.    Теорема Крамера. Решение систем линейных алгебраических  уравнений по формулам Крамера.
18.    Совместные и несовместные системы линейных алгебраических  уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
19.    Однородные системы линейных алгебраических уравнений, их нетривиальные решения.
20.    Исследование систем линейных алгебраических уравнений.
21.    Преобразование координат на плоскости и в пространстве. Замена декартова базиса.
22.    Криволинейные координаты на плоскости. Полярная система координат.
23.    Криволинейные координаты в пространстве. Цилиндрическая и сферическая системы координат.
24.    Линейное пространство. Базис пространства.
25.    Линейные отображения и их матрицы.
26.    Собственные числа и собственные векторы линейных отображений и матриц.
27.    Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой.
28.    Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости. Векторное и координатные уравнения.
29.    Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.
30.    Прямая в пространстве. Способы задания прямой в пространстве.
31.    Прямая в пространстве как пересечение двух плоскостей. Переход к другим уравнениям прямой.
32.    Векторное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
33.    Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми.
34.    Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
35.    Канонические уравнения кривых 2-го порядка: эллипса, гиперболы и параболы.
36.    Алгоритм приведения кривой 2-го порядка к каноническому виду.
37.    Поверхности в пространстве. Способы задания. Цилиндрические поверхности.
38.    Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
39.    Комплексные числа. Алгебраическая форма. Геометрическая        интерпретация. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера.
40.    Комплексные числа и действия над ними.
41.    Многочлены. Основная теорема алгебры. Теорема Безу и признак  делимости на двучлен.
42.    Разложение многочлена на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на вещественные множители.
43.    Множества и операции над ними.  Операции над булевыми переменными.
44.    Ориентированные и неориентированные графы, способы их задания.
45.    Числовые множества.  Счетные множества. Несчетность отрезка.
46.    Понятие числовой последовательности. Арифметические действия над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие последовательности.
47.    Бесконечно малые последовательности и их свойства.
48.    Сходящиеся последовательности . Свойства сходящихся последовательностей.
49.    Предел функции в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.
50.    Предел функции при   ,  ,  . Левый и правый предел.
51.    Свойства пределов.
52.    Первый замечательный предел и следствия из него.
53.    Второй замечательный предел и следствия из него.
54.    Сравнение бесконечно малых. Таблица эквивалентных функций. 
55.    Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
56.    Теорема  Вейерштрасса. 
57.    Точки разрыва функции.
58.    Асимптоты графика функции.
59.    Определение производной.
60.    Физический смысл производной.
61.    Геометрический смысл производной.
62.    Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
63.    Правила дифференцирования.
64.    Производная сложной функции.
65.    Дифференциал функции, его геометрический смысл.
66.    Свойства дифференциала.
67.    Применение дифференциала для приближенных вычислений.
68.    Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной  функции.
69.    Дифференцирование функций, заданных параметрически.
70.    Дифференцирование обратных функций.
71.    Касательная и нормаль.
72.    Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
73.    Производные второго порядка функций, заданных параметрически.
74.    Теорема Ферма .
75.    Теорема Ролля.
76.    Теорема Лагранжа.
77.    Теорема Коши.
78.    Правила Лопиталя.
79.    Формула Тейлора.
80.    Остаточные члены формулы Тейлора.
81.    Формула Маклорена.
82.    Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
83.    Условия монотонности  функции.
84.    Локальные экстремумы. Необходимое условие экстремума.
85.    Достаточные признаки экстремума.
86.    Выпуклость графика функции.
87.    Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
88.    Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
89.    Понятие о первообразной.
90.    Неопределённый интеграл, его свойства.
91.    Основные методы интегрирования.
92.    Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
93.    Интегрирование простейших дробей.
94.    Интегрирование тригонометрических выражений.
95.    Интегрирование иррациональных выражений.

2 семестр
96.    Определение интеграла по Риману.
97.    Свойства определённого интеграла.
98.    Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства.
99.    Формула   Ньютона-Лейбница.
100.    Замена переменной в определённом интеграле.
101.    Интегрирование по частям в определённом интеграле.
102.    Приложения определённого интеграла.
103.    Несобственные интегралы первого рода. Их свойства.
104.    Признаки  сходимости несобственных интегралов.
105.    Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
106.    Предел последовательности точек из   .
107.    Частные производные.
108.    Понятие дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
109.    Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
110.    Дифференцирование сложной функции.
111.    Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
112.    Производная по направлению. Градиент.
113.    Частные производные высших порядков.
114.    Дифференциалы высших порядков.
115.    Формула Тейлора.
116.    Дифференцирование неявно заданной функции.
117.    Наибольшее и наименьшее значения функции в заданной  области.
118.    Локальные экстремумы. Необходимое условие локального экстремума.
119.    Квадратичные формы. Критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичной формы.
120.    Достаточное условие локального экстремума функций n переменных, двух и трёх переменных.
121.    Условный экстремум. Метод Лагранжа.
122.    Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Основные понятия. Классификация ДУ 1–го порядка и методы их решения.
123.    ДУ, неразрешенные относительно производной.
124.    Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения.
125.    Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия.
126.    Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
127.    Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ)  n –го порядка. Основные понятия.
128.    Независимые системы  функций, теоремы о структуре решения ЛДУ.
129.    Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)  n–го порядка с постоянными коэффициентами.  Метод Эйлера.
130.    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) n–го порядка. Метод вариации произвольных постоянных.
131.    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n–го порядка с постоянными коэффициентами.  Метод неопределённых коэффициентов.
132.    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n–го порядка.
133.    Системы дифференциальных уравнений  первого порядка. Основные понятия. Методы решения.
134.    Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Основные понятия, теоремы о структуре решения.
135.    Системы линейных однородных дифференциальных уравнений  первого порядка. Метод Эйлера.
136.    Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод вариации произвольных постоянных.
137.    Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.  Метод неопределённых коэффициентов.
138.    Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Классификация точек покоя.
139.    Преобразование Лапласа. Свойства преобразования Лапласа.
140.    Понятие оригинала и  изображения. Таблица изображений.
141.    Обратное преобразование Лапласа. Метод неопределённых коэффициентов.
142.    Операторный метод  решения дифференциальных уравнений  и систем дифференциальных уравнений.
143.    Свёртка функций, теорема о свёртке. Нахождение оригинала с помощью свёртки. Применение преобразования Лапласа к решению интегральных уравнений.

3 семестр
144.    Понятие числового ряда. Сходимость ряда. Сумма ряда.
145.    Критерий Коши для   числовых рядов. Необходимое условие сходимости.
146.    Свойства сходящихся рядов.
147.    Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения.
148.    Признаки сходимости положительного ряда.
149.    Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
150.    Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
151.    Свойства  абсолютно сходящихся рядов.
152.    Функциональные ряды. Сходимость в точке. Область сходимости.
153.    Равномерная сходимость  функционального ряда.  Мажорируемость. Признак равномерной сходимости.
154.    Степенные ряды. Теорема Абеля.
155.    Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара.
156.    Свойства степенных рядов.
157.    Разложение функции в ряд. Ряд Тейлора.
158.    Ряд  Маклорена для функции. Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций.
159.    Приложения степенных рядов.
160.    Ортонормированные системы в пространствах со скалярным произведением.
161.    Минимальное свойство коэффициентов Фурье.
162.    Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость систем.
163.    Тригонометрические ряды Фурье. Теорема Дирихле
164.    Интегральная формула Фурье.
165.    Прямое и обратное преобразование Фурье.
166.    Понятие функции комплексной переменной. Элементарные функции комплексной переменной.
167.    Определение двойного интеграла. Существование и геометрический смысл двойного интеграла.
168.    Свойства двойного интеграла.
169.    Сведение двойного интеграла к повторному.
170.    Замена переменных в двойном интеграле. Геометрический смысл якобиана.
171.    Понятие тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле.
172.    Вычисление тройного интеграла в  цилиндрических  координатах.
173.    Вычисление тройного интеграла в  сферических координатах.
174.    Свойства тройных интегралов.
175.    Применение двойных и тройных интегралов.
176.    Криволинейные интегралы первого рода. Свойства.
177.    Сведение криволинейного интеграла первого рода к определённому интегралу.
178.    Криволинейные интегралы второго  рода. Физический смысл.
179.    Сведение криволинейного интеграла второго рода к криволинейному интегралу первого рода и к определённому интегралу.
180.    Формула Грина.
181.    Восстановление функции по полному дифференциалу.
182.    Поверхностные интегралы первого рода. Сведение поверхностного интеграла первого рода к двойному.
183.    Приложения поверхностных интегралов первого рода.
184.    Поверхностные интегралы второго рода. Сведение к двойным интегралам.
185.    Физический смысл поверхностных интегралов второго рода.
186.    Формула Стокса.
187.    Формула Остроградского-Гаусса.
188.    Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях.
189.    Интегральные характеристики векторных полей.
190.    Скалярные и векторные поля.
191.    Потенциальные и соленоидальные поля.

4 семестр
192.    Основные понятия теории вероятностей. Случайные события, действия над ними.
193.    Классическое определение вероятности, свойства вероятности.
194.    Условные вероятности. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. .
195.    Условные вероятности. Формула полной вероятности, формулы Бейеса.
196.    Случайные величины (СВ), функция распределения СВ и её свойства.
197.    Дискретные случайные величины (ДСВ), закон распределения ДСВ. Функция распределения ДСВ и ее свойства.
198.    Непрерывные случайные величины (НСВ), функции распределения и плотности распределения НСВ и их свойства.
199.    Случайные величины (СВ). Числовые характеристики случайных величин.
200.    Числовые характеристики случайных величин. Свойства M(X) и D(X).
201.    Дискретные случайные величины (ДСВ),  основные понятия. Биномиальное распре деление B(n,p).       
202.    ДСВ, основные понятия. Геометрическое распределение G(p).
203.    ДСВ,  основные понятия. Распределение Пуассона P(a). Связь между биномиальным распределением и распределением Пуассона.
204.    Непрерывные случайные величины (НСВ), основные понятия. Равномерное распределение U(a,b).
205.    НСВ, основные понятия. Показательное распределение Ε(λ).
206.    НСВ, основные понятия. Стандартное нормальное распределение N(0,1).
207.    НСВ, основные понятия. Общее нормальное распределение N(a,σ).
208.    Предельные теоремы. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева.
209.    Предельные теоремы. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа.
210.    Системы случайных величин (ССВ), функция распределения ССВ и ее свойства. Числовые характеристики систем случайных величин.
211.    Системы дискретных случайных величин, функция распределения СДСВ, закон распределения. Законы распределения составляющих, условные законы распределения.
212.    Системы непрерывных случайных величин (СНСВ), функция распределения  Функция  плотности распределения СНСВ, плотности распределения составляющих, условные плотности распределения.
213.    Системы случайных величин. Функции случайных величин, корреляционный момент μxy и его свойства.
214.    Системы случайных величин. Зависимые и коррелированные случайные величины.
215.    Системы случайных величин. Коэффициент корреляции rxy и его свойства.
216.    Основные понятия математической статистики Генеральная и выборочная совокупности, понятие вариационного ряда. Гистограмма и полигон частот.
217.    Числовые  характеристики выборки и их вычисления.
218.    Числовые  характеристики двумерной выборки. Выборочный коэффициент корреляции  и метод  его вычисления.
219.    Условные математические ожидания, уравнения регрессии. Вывод уравнения прямой регрессии.
220.    Условные математические ожидания, кривые регрессии. Метод наименьших квадратов определения параметров кривой регрессии.
221.    Точечные статистические оценки.  Состоятельные и несмещенные оценки. Эффективность оценки. Нахождение оценок методом  максимального правдоподобия.
222.    Точные выборочные распределения (χ2 , Стьюдент, Фишер). Интервальные статистические оценки.
223.    Интервальные статистические оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.
224.    Статистические критерии. Критерий Пирсона (Критерий χ2).  Проверка гипотезы о виде распределения.
225.    Статистические критерии. Критерий Пирсона.  Проверка гипотез о независимости составляющих  распределения и о  равенстве нулю коэффициента  корреляции.

 

 

 

Учебные материалы

Список литературы:
1. Данко П.Е.  Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1, 2003.

2. Данко П.Е.  Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 2, 2003. 

 

Презентации:

 

Видео:

 

Ссылки:

 

 




© PSA 2012